Чудо сложного процента

“Во всей Вселенной нет ничего более могущественного, чем сложный процент” – сказал как-то Альберт Эйнштейн.
И действительно, в ХVIII веке операции со сложным процентом подняли целый фурор в молодой банковской сфере мировой экономики.

Суть идеи следующая: есть фиксированный процент p, выплачиваемый за вклад суммой S. Понятно, что в конце года вкладчик получит сумму S1= S(1+p), а в конце второго года S2= S1(1+p) и так далее.

Если подставить вместо S1 его выражение, получим S2= S(1+p)(1+p)= S(1+p)^2. Если нужно подсчитать сумму вклада за n лет, нужно воспользоваться выражением Sn= S(1+p)^n.
Но немногим известно, что задача, которая может быть решена только при помощи сложного процента была поставлена и решена ещё в Вавилонском Талмуде (II век).

Сложный процент в масехте Недорим Вавилонского Талмуда

Текст Геморы гласит следующее:

Сказал раби Аха бар Ханина: “всякий проведывающий больного отнимает 1/60 от болей его”. Скажи ему: если так – войдут 60 и поднимут его. Сказал ему: [эти суммы рассчитываются] как размер [выплат сиротам] дома [ешивы] Раби и [общины] в [городе] Бен-Гило, как учили в барайте, Реби говорит “дочь питается от имущества братьев: [всегда] берёт 1/10 имущества”. Сказали Реби [возражение]: по словам твоим [выходит, что] тот, у кого 10 дочерей и сын – не получит [этот сын] после дочерей ничего? Сказал ему [решение]: “первая берёт 1/10 имущества, вторая – из оставшегося, третья – из оставшегося. И вернутся – и поделят [всё что было взято] поровну”.

Выходит, что первая дочь возьмёт p1=0,1S, тогда на счету брата останется S1= S(1-0,1), вторая возьмёт p=0,1S2, а оставит на счету S2= S1(1-0,1) и так далее. Если объединить эти выражения, получим S2= S(1-0,1)(1-0,1)= S(1-0,1)^2.

Формула n-го остатка на счёте (после выплаты) Sn= S(1-0,1)^n.

Формула n-й выплаты pn=0,1S(1-0,1)^(n-1).

Рассчитав суммы выплат, которые брат делает десяти своим сёстрам, получим такую таблицу:

дочь остаток Sn
выплата
1 0,9 0,1
2 0,81 0,09
3 0,729 0,081
4 0,6561 0,0729
5 0,59049 0,06561
6 0,531441 0,059049
7 0,4782969 0,0531441
8 0,43046721 0,04782969
9 0,387420489 0,043046721
10 0,3486784401 0,0387420489

Получаем остаток на счёте брата S10 примерно 35% от первоначальной суммы. Чтоб рассчитать, сколько получит каждая сестра, нужно сложить все выплаты и поделить на число сестёр. Получаем около 6,5%.

 

Добавить комментарий

Обсуждения:
Старый блог
Рассылка